1 GM系列多变量预测—MGM(1,N)模型


$$
X^{(0)}_i=(x^{(0)}_i(1),x^{(0)}_i(2),\cdots,x^{(0)}_i(n)),i=1,2,\cdots,N
$$
为原始多变量非负序列,即
$$
\begin{aligned}
X^{(0)}_1=(x^{(0)}_1(1),x^{(0)}_1(2),&\cdots,x^{(0)}_1(n)),\\
X^{(0)}_2=(x^{(0)}_2(1),x^{(0)}_2(2),&\cdots,x^{(0)}_2(n)),\\
X^{(0)}_3=(x^{(0)}_3(1),x^{(0)}_3(2),&\cdots,x^{(0)}_3(n)),\\
&\ \ \ \vdots\\
X^{(0)}_N=(x^{(0)}_N(1),x^{(0)}_N(2),&\cdots,x^{(0)}_N(n))
\end{aligned}
$$
而$X^{(1)}_i​$为$X^{(0)}_i​$的1-AGO生成序列,即
$$
X^{(1)}_i={\{X^{(1)}_1,X^{(1)}_2,\cdots,X^{(1)}_N\}}
$$
其中
$$
X^{(1)}_1=\{x^{(1)}_1(1),x^{(1)}_1(2),\cdots,x^{(1)}_1(n)\}\\
x^{(1)}_1(k)=\sum_{j=1}^kx^{(0)}_1(j),k=1,2,\cdots,n
$$
则在$t​$时刻该序列对应的n元1阶微分方程组为:
$$
\begin{aligned}
\frac{dx^{(1)}_1}{dt}&=a_{11}x^{(1)}_1+a_{12}x^{(2)}_2+\cdots+a_{1N}x^{(1)}_N+b_1\\
\frac{dx^{(1)}_2}{dt}&=a_{21}x^{(1)}_1+a_{22}x^{(2)}_2+\cdots+a_{2N}x^{(1)}_N)+b_2\\
&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots\\
\frac{dx^{(1)}_N}{dt}&=a_{N1}x^{(1)}_1+a_{N2}x^{(2)}_2+\cdots+a_{NN}x^{(1)}_N+b_N
\end{aligned}
$$
称为多变量MGM(1,N)模型。记
$$
\begin{aligned}
X^{(0)}(k)&=\{x^{(0)}_1(k),x^{(0)}_2(k),\cdots,x^{(0)}_N(k)\}\\
X^{(1)}(k)&=\{x^{(1)}_1(k),x^{(1)}_2(k),\cdots,x^{(1)}_N(k)\}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{matrix}
A=\left[
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1N}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2N}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{N1}&a_{N2}&\cdots&a_{NN}
\end{matrix}
\right],
B=\left[
\begin{matrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_N
\end{matrix}
\right]
\end{matrix}
$$

则MGM(1,N)模型可记为:
$$
\frac{dX^{(1)}}{dt}=AX^{(1)}+B
$$
该微分方程对应的解为:
$$
X^{(1)}(t)=e^{At}X^{(0)}(0)+A^{-1}(e^{At}-I)B
$$
其中 $I$ 为单位矩阵

对MGM(1,N)模型离散化可得:
$$
x^{(0)}_i(k)=\sum_{j=1}^N\frac{a_{ij}}{2}[x^{(1)}_j(k)+x^{(1)}_j(k-1)]+b_i
$$


$$
\begin{aligned}
z^{(1)}_j(k)&=\frac{1}{2}[x^{(1)}_j(k)+x^{(1)}_j(k-1)]\\
i&=1,2,\cdots,N;\\
j&=1,2,\cdots,N;\\
k&=2,3,\cdots,N.
\end{aligned}
$$
记矩阵
$$
L=\left[
\begin{matrix}
z^{(1)}_1(2)&z^{(1)}_1(3)&\cdots&z^{(1)}_1(n)&1\\
z^{(1)}_2(2)&z^{(1)}_2(3)&\cdots&z^{(1)}_2(n)&1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
z^{(1)}_N(2)&z^{(1)}_N(3)&\cdots&z^{(1)}_N(n)&1
\end{matrix}
\right]\\
$$

$$
\begin{aligned}
Y_i=&\Big[x^{(0)}_j(2),x^{(0)}_j(3),\cdots,x^{(0)}_j(n)\Big]^T\\
A_i=&\Big[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{iN},b_i\Big]^T
\end{aligned}
$$

则离散化模型可记为:$Y_i=A_iL$

则对参数列$A_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{iN},b_i)^T,i=1,2,\cdots,N$利用最小二乘法进行参数估计可得:
$$
\hat A_i=(L^TL)^{-1}L^TY
$$
故可得矩阵$\hat A,\hat B​$的参数估计。

根据参数的估计值,可得MGM(1, N)模型的时间响应式为:
$$
\hat X^{(1)}(k)=e^{\hat A(k-1)}X^{(1)}(1)+\hat A^{-1}(e^{\hat A(k-1)}-I)\hat B,k=1,2,\cdots,n
$$
累减还原可得原始序列预测值:
$$
\hat X^{(0)}=\hat X^{(1)}(k)-\hat X^{(1)}(k-1),k=2,3,\cdots,n
$$

最后修改:2022 年 09 月 01 日
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