1 GM系列单变量预测—灰色Verhulst模型

1.1GM(1,1)幂模型

设$X^{(0)}$为原始数据序列，$X^{(1)}$为$X^{(0)}$为的1-AGO序列，$Z^{(1)}$为$X^{(1)}$的紧邻均值，则称
$$
x^{(0)}(k)+az^{(1)}(k)=b(z^{(1)}(k))^{\alpha}
$$
为GM(1,1)幂模型。

GM(1,1)幂模型的白化方程：
$$
\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=b{(x^{(1)})}^\alpha
$$

• GM(1,1)幂模型的白化方程的解：

$$
\hat x^{(1)}(t)={\{e^{-(1-a)at}[(1-a)\int be^{(1-a)at}dt+c]\}}^{\frac{1}{1-a}}
$$

• 设$X^{(0)}$为原始数据序列，$X^{(1)}$为$X^{(0)}$为的1-AGO序列，$Z^{(1)}$为$X^{(1)}$的紧邻均值，
  $$
  B=\left[
  \begin{matrix}
  -z^{(1)}(2)&(z^{(1)}(2))^\alpha\\
  -z^{(1)}(3)&(z^{(1)}(3))^\alpha\\
  \vdots&\vdots\\
  -z^{(1)}(n)&(z^{(1)}(n))^\alpha\\
  \end{matrix}
  \right],
  Y=\left[
  \begin{matrix}
  x^{(0)}(2)\\
  x^{(0)}(3)\\
  \vdots\\
  x^{(0)}(n)
  \end{matrix}
  \right]
  $$
  则称GM(1,1)幂模型参数列$\hat a=[a,b]^T$的最小二乘估计为：

$$
\hat a=(B^TB)^{-1}B^TY
$$

1.2灰色Verhulst模型

当$\alpha=2$时，称
$$
x^{(0)}(k)+az^{(1)}(k)=b(z^{(1)}(k))^2
$$
为灰色Verhulst模型。

灰色Verhulst模型的白化方程：
$$
\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=b(x^{(1)})^2
$$
灰色Verhulst模型的白化方程的解：
$$
\begin{aligned}
\hat x^{(1)}(t)&=\frac{1}{e^{at}\Big[-\frac{b}{a}(1-e^{-at})+\frac{1}{x^{(1)}(0)}\Big]}\\
&=\frac{ax^{(1)}(0)}{e^{at}\Big[-bx^{(1)}(0)(1-e^{(-at)})+a\Big]}\\
&=\frac{ax^{(1)}(0)}{bx^{(1)}(0)+(a-bx^{(1)}(0))e^{(at)}}
\end{aligned}
$$
灰色Verhulst模型的时间响应式：
$$
\hat x^{(1)}(k+1)=\frac{ax^{(1)}(0)}{bx^{(1)}(0)+(a-bx^{(1)}(0))e^{(ak)}}
$$
灰色Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,即S形过程,常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。由灰色Verhulst 方程的解可以看出,当$t\rightarrow\infty$时,若$a\gt0$,则$\hat x^{(1)}(t)\rightarrow0$;若$a\lt 0$,则$\hat x^{(1)}(t)\rightarrow\frac{a}{b}$,即有充分大的t,对任意$k>t$, $x^{(1)}(k+1)$与$x^{(1)}(k)$充分接近,此时$x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k+1)-x^{(1)}(k)\approx0$,系统趋于死亡。
在实际问题中，常遇到原始数据本身呈S形的过程。这时,我们可以建立灰色Verhulst模型进行模拟预测。