1 GM系列多变量预测—GM(0,N)模型

设$X^{(0)}_1=(x^{(0)}_1(1),x^{(0)}_1(2),\cdots,x^{(0)}_1(n))$为系统行为特征数据序列，而
$$
\begin{aligned}
X^{(0)}_2&=(x^{(0)}_2(1),x^{(0)}_2(2),\cdots,x^{(0)}_2(n)),\\
X^{(0)}_3&=(x^{(0)}_3(1),x^{(0)}_3(2),\cdots,x^{(0)}_3(n)),\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \ \vdots\\
X^{(0)}_N&=(x^{(0)}_N(1),x^{(0)}_N(2),\cdots,x^{(0)}_N(n))
\end{aligned}
$$
为相关因素序列，$X^{(1)}_i$为$X^{(0)}_i$的1-AGO序列$(i=1,2,\cdots,N)$,则称
$$
x^{(1)}_1(k)=b_2x^{(1)}_2(k)+b_3x^{(1)}_3(k)+\cdots+b^{(1)}_N(k)+a
$$
为GM(0,N)模型。GM(0,N)模型表示用0阶微分方程对N个变量进行建模。

GM(0,N)模型不含导数，因此为静态模型。事实上它是一个多元离散模型，GM(0,N)模型类似于多元回归模型，但是它与一般的多元线性回归模型有着本质的区别——一般的多元线性回归建模以原始数据序列为基础，GM(0,N)建模基础则是以原始数据1-AGO序列。

设$X^{(0)}_i$，$X^{(1)}_i$定义同上，则
$$
\begin{matrix}
B=\left[
\begin{matrix}
x^{(1)}_2(2)&x^{(1)}_3(2)&\cdots&x^{(1)}_N(2)\\
x^{(1)}_2(3)&x^{(1)}_3(3)&\cdots&x^{(1)}_N(3)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x^{(1)}_2(n)&x^{(1)}_3(n)&\cdots&x^{(1)}_N(n)
\end{matrix}
\right]，
Y=\left[
\begin{matrix}
x^{(1)}_1(2)\\
x^{(1)}_1(3)\\
\vdots\\
x^{(1)}_1(n)
\end{matrix}
\right]
\end{matrix}
$$
参数列$\hat a=[a,b_1,b_2,\cdots,b_N]^T$的最小二乘估计为：
$$
\hat a=(B^TB)^{-1}B^TY
$$