1 GM系列多变量预测—GM(1,N)模型

1.1 模型定义

设$X^{(0)}_1=(x^{(0)}_1(1),x^{(0)}_1(2),\cdots,x^{(0)}_1(n))​$为系统行为特征数据序列，而
$$
\begin{aligned}
X^{(0)}_2=(x^{(0)}_2(1),x^{(0)}_2(2),&\cdots,x^{(0)}_2(n)),\\
X^{(0)}_3=(x^{(0)}_3(1),x^{(0)}_3(2),&\cdots,x^{(0)}_3(n)),\\
&\ \ \ \vdots\\
X^{(0)}_N=(x^{(0)}_N(1),x^{(0)}_N(2),&\cdots,x^{(0)}_N(n))
\end{aligned}
$$
为相关因素序列，$X^{(1)}_i$为$X^{(0)}_i$的1-AGO序列$(i=1,2,\cdots,N)$,$Z^{(1)}_1$为$X^{(1)}_1$的紧邻生成序列，其中
$$
z^{(1)}(k)=\frac{1}{2}(x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k-1)),(k=2,3,\cdots,n)
$$
称
$$
x^{(0)}_1(k)+az^{(1)}_1(k)=\sum_{i=2}^Nb_ix^{(1)}_i(k)
$$
为GM(1,N)模型。GM(1,N)模型表示用1阶微分方程对N个变量进行建模,该模型中$-a$表示发展系数，$b_i$表示驱动系数，$b_ix_i^{(1)}(k)$表示驱动项。

1.2 模型求解

令
$$
\begin{matrix}
B=\left[
\begin{matrix}
-z^{(1)}_1(2)&x^{(1)}_2(2)&\cdots&x^{(1)}_N(2)\\
-z^{(1)}_1(3)&x^{(1)}_2(3)&\cdots&x^{(1)}_N(3)\\
\vdots\\
-z^{(1)}_1(n)&x^{(1)}_2(n)&\cdots&x^{(1)}_N(n)
\end{matrix}
\right],
Y=\left[
\begin{matrix}
x^{(0)}_1(2)\\
x^{(0)}_1(3)\\
\vdots\\
x^{(0)}_1(n)
\end{matrix}
\right]
\end{matrix}
$$
则参数列$\hat a=[a,b_1,b_2,\cdots,b_N]^T$的最小二乘估计为：$\hat a=(B^TB)^{-1}B^TY$。

GM(1,N)的白化微分方程(影子方程)为：
$$
\frac{dx^{(1)}_1}{dt}+ax^{(1)}_1=\sum_{i=2}^Nb_ix_i^{(1)}
$$
(1)GM(1,N)的白化微分方程的解为：
$$
\begin{aligned}
x^{(1)}_1(t)&=e^{-at}\Big[x^{(1)}_1(0)-\sum_{i=2}^N{\int b_ix_i^{(1)}(0)}+\sum_{i=2}^N\int b_ix_i^{(1)}(t)e^{at}dt\Big]\\
&=e^{-at}\Big[x^{(1)}_1(0)-t\sum_{i=2}^N{b_ix_i^{(1)}(0)}+\sum_{i=2}^N\int b_ix_i^{(1)}(t)e^{at}dt\Big]
\end{aligned}
$$

(2) 当$X^{(1)}_i(i=1,2,\cdots,N)$变化幅度很小时，可视$\sum_{i=2}^Nb_ix_i^{(1)}(k)$为灰常量，则GM(1,N)模型$x^{(0)}_1(k)+az^{(1)}_1(k)=\sum_{i=2}^Nb_ix^{(1)}_i(k)$的近似时间响应式为:

类比GM(1,1)的事件响应式($x^{(1)}(t)=\frac ba+[x^{(0)}(1)-\frac ba]e^{-a(t-1)}$)可得：
$$
\hat x_1^{(1)}(k+1)=\{x_1^{(1)}(0)-\frac{\sum_{i=2}^Nb_ix_i^{(1)}(k+1)}{a}\}e^{(-ak)}+\frac{1}{a}\sum_{i=2}^Nb_ix_i^{(1)}(k+1)
$$
其中$x_1^{(1)}(0)取x_1^{(0)}(1)$。

(3) 累减还原式为：$\hat x_1^{(0)}(k+1)=\hat x^{(1)}_1(k+1)-\hat x^{(1)}_1(k)$

(4) GM(1,N)差分模拟式：
$$
\hat x^{(0)}_1(k)=-az^{(1)}_1(k)+\sum_{i=2}^Nb_i\hat x^{(1)}_i(k)
$$